📐 Identidades Trigonométricas

Guía 2 de Matemáticas - Grado 10°

📚 Institución Educativa Santa Teresita

Docente: Diego A. Beltrán

Asignatura: Matemáticas | Grado: 10

Tema: Identidades Trigonométricas

Conceptos Fundamentales

¿Qué es una Identidad Trigonométrica?

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene funciones trigonométricas y que se cumple para todo valor de la variable donde está definida la función.

Ejemplo:

$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Esta identidad se cumple para todo valor de x donde cos(x)≠0.

💡 Indicador de Desempeño: Demostrar de manera sencilla algunas identidades trigonométricas para aplicarlas en la solución de situaciones cotidianas.

🔄 Diferencia entre Identidades y Ecuaciones

Identidades

Se cumplen para todos los valores válidos de la variable

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Ecuaciones

Se cumplen solo para algunos valores específicos

$$\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Identidades Fundamentales

Diagrama de Identidades Trigonométricas

Demostración de una Identidad Trigonométrica

A partir de las identidades trigonométricas fundamentales se pueden demostrar otras identidades más complejas. Para esto se deben tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

Recomendaciones para Demostrar Identidades:

  • 1. Se elige un miembro de la igualdad, generalmente el más complicado, para transformarlo en el miembro más simple.
  • 2. Se expresan las funciones trigonométricas en términos de seno y coseno, si es posible.
  • 3. Se aplican las identidades fundamentales, se factoriza y se efectúan las operaciones indicadas, siempre que sea necesario.

⚠️ Importante: Cuando se demuestran identidades, no se realizan operaciones en ambos miembros de la igualdad de manera simultánea como cuando se resuelven ecuaciones, sino que se transforma un miembro de la igualdad en el otro.

📸 Ejemplo 1

Primer Ejemplo de Demostración de Identidad Trigonométrica

📸 Ejemplo 2

Segundo Ejemplo de Demostración de Identidad Trigonométrica

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Verificación de Identidad

¿Es $$\frac{\sec(\alpha)}{\csc(\alpha)} = \cot(\alpha)$$ una identidad?
Paso 1: Elegimos el lado izquierdo y lo expresamos en términos de seno y coseno
$$\frac{\sec(\alpha)}{\csc(\alpha)} = \frac{\frac{1}{\cos(\alpha)}}{\frac{1}{\sin(\alpha)}}$$
Paso 2: Simplificamos la división (ley de extremos y medios)
$$= \frac{1 \cdot \sin(\alpha)}{\cos(\alpha) \cdot 1} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$
Paso 3: Aplicamos la identidad de tangente
$$= \tan(\alpha)$$
Conclusión: Como tanα ≠ cotα , la igualdad NO es una identidad.

Ejemplo 2: Demostración de Identidad

Demostrar que $$\tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1$$
Paso 1: Partimos del lado derecho
$$\frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1$$
Paso 2: Expresamos con denominador común
$$= \frac{1 - \cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$$
Paso 3: Aplicamos la identidad pitagórica (1 - cos²α = sen²α)
$$= \frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$$
Paso 4: Aplicamos la definición de tangente
$$= \left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)^2 = \tan^2(\alpha)$$
Conclusión: ✅ La identidad queda demostrada.

Ejemplo 3: Ecuación Trigonométrica Lineal

Resolver: $$\sqrt{2}\cos(x) + 1 = 2$$
Paso 1: Despejamos el término trigonométrico
$$\sqrt{2}\cos(x) = 1$$
Paso 2: Dividimos por √2 y racionalizamos
$$\cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Paso 3: Encontramos los ángulos en [0, 2π]
$$x = \frac{\pi}{4} \quad \text{y} \quad x = \frac{7\pi}{4}$$

📝 Cronograma de Actividades

📅 Importante: A continuación se presenta el cronograma de actividades para el tema de Identidades Trigonométricas. Cada actividad tiene una fecha específica de entrega y requisitos particulares.

📅 Entrega: 21 de Julio de 2025
📝 Actividad 1: Resumen del Tema
El estudiante debe realizar en su cuaderno un resumen del tema, el cual contenga toda la información de las siguientes secciones de esta guía:

✅ Secciones:

  • Conceptos: Definición de identidad trigonomética y diferencias entre identidades y ecuaciones
  • Identidades: Cuadro con todas las identidades trigonométricas fundamentales
  • Demostración: Recomendaciones para demostrar identidades y demostraciones con su paso a paso
  • Ejemplos: Dos ejemplos resueltos adicionales

📋 Instrucciones:

  • La actividad debe realizarse en el cauderno de matemáticas
  • Presentar con letra legible y organizada
  • Esta entrega tiene una nota equivalente al 50% de la guía 2
  • Entregar al finalizar la clase al docente
📅 Entrega: 24 de Julio de 2025
📖 Actividad 2: Lectura #2
Desarrollar la Lectura #2 y resolver los puntos explicados en las instrucciones de la actividad. Se debe entregar un cuaderno por parejas al finalizar la clase.

📋 Instrucciones:

  • Acceder al enlace
  • Descargar y leer el material asignado
  • Desarrollar las actividades propuestas en la lectura
  • Presentar el trabajo en el cuaderno al finalizar la clase
🔗 Acceder a Lectura #2
📅 Entrega: 28 de Julio de 2025
✏️ Actividad 3: Ejercicios Resueltos en Clase
Resolver los ejercicios sobre el tema de identidades trigonométricas. Se puede trabajar en grupos de 2 o 3 estudiantes. Todos deben entregar el cuaderno al final de la clase.

📋 Instrucciones:

  • Trabajar en parejas o tríos
  • Participar activamente en la resolución durante la clase
  • Tomar apuntes de los procedimientos explicados
  • Entregar el cuaderno al final de la clase
🔗 Acceder a Ejercicios de Clase
📅 Entrega: 31 de Julio de 2025
🎯 Actividad 4: Ejercicios Tipo Prueba Saber
Resolver ejercicios en formato tipo Prueba Saber ICFES para fortalecer las competencias evaluadas en las pruebas estandarizadas. Esta actividad se realizará en parejas.

👥 Modalidad de Trabajo:

  • Trabajo en parejas: Cada pareja recibirá una hoja con preguntas
  • El docente proporcionará el material durante la clase
  • Tiempo estimado: 45 minutos
  • Entrega el mismo día de la clase

📋 Características del simulacro:

  • Preguntas de selección múltiple con única respuesta
  • Enfoque en competencias matemáticas
  • Aplicación de identidades trigonométricas
  • Justificación de respuestas requerida

📌 Nota: El material de esta actividad será proporcionado directamente por el docente durante la clase del 31 de julio.

🎯 Criterios de Evaluación

Todas las actividades serán evaluadas considerando:

  • Puntualidad en la entrega
  • Calidad y organización del trabajo
  • Comprensión de los conceptos
  • Procedimientos correctos
  • Participación en clase